多边形训练题3-2017ISL/G1

疫情反扑中, 大家注意保护好自己呀!

今天给大家搞一道多边形的训练题, 是今天讨论上一题题源的时候, 看了一眼ISL而迷上的, 因此感谢金老师, 万老师和乌江大师....

题目标签: 共点类- 边等+角等- 2017ISL/G1

知识储备: 相交两圆的性质

ps: 如果你是通过Brianchon定理一眼看出答案请不要浪费这个题啊0.0

题目:

凸多边形满足: , , , 求证: 过且垂直于的直线与, 交于一点;

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这道题目说起来还挺神奇, 摸索的过程是比较艰辛的, 因为见得不多, 所以走起来比较艰辛, 不过辅助线上最后选择了延长, 和;

延长, 分别与直线交于,

算角容易发现

为等腰三角形

(思路还未通畅)拿到全等以后就开始惨无人道的计算, 然后发现, 计算中逃不过半周长, 也就是对的垂足应该是两个三角形公共旁切圆的切点;

于是, 发现两旁切圆重合!

作出与的旁切圆, 两圆切于同一点;

结合, 得到两圆的幂相等, 两圆圆心均在上, 故两旁切圆重合;

算角不难得到, 其实均共圆, 而证明这两个共圆则本题证毕, 这里就不再赘述思路了, 直接放解答了;

结合三角形全等得到且为旋转相似

故

, 故共圆;

故

故

原题证毕!

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当然最后我翻看了一眼答案, 有三种证明方法, 都基本上没有逃过的生成, 不过也都没交代为啥能找到, 我是不太理解能直接看出来这个五边形有内切圆的, 如果有老师知道怎么一眼看出有内切圆的话, 告诉我呀(哭..)

(ps: 利用Brianchon反推出来的不算吧..)

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